1. 天文学距离单位#

1.1 天文单位 (Astronomical Unit, AU)#

• 定义：地球到太阳的平均距离。
• 数值 ：$1 , \text{AU} \approx 1.496 \times 10^{11} , \text{m}$

1.2 光年 (Light Year, l.y.)#

• 定义：光在真空中一年传播的距离。
• 推导：
  • 光速 $c \approx 299,792,458 , \text {m/s}$
  • 一年 $= 365.25 , \text {days} = 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 , \text {s} \approx 3.15576 \times 10^7 , \text {s}$
  • $1 , \text{l.y.} = c \times 1 , \text{year} \approx (299,792,458 , \text{m/s}) \times (3.15576 \times 10^7 , \text{s}) \approx 9.461 \times 10^{15} , \text{m}$

1.3 秒差距 (Parsec, pc)#

• 定义：当一个天文单位 (AU) 的长度对应于一角秒 ($1/3600$ 度) 的角度时，距离观察者的距离。
• 推导：
  1. 考虑一个直角三角形，其中一条直角边为 $1 , \text {AU}$，另一条直角边为距离 $d$ ($1 , \text {pc}$)，对角为 $1 , \text {arcsecond}$。
  2. 使用三角函数： $$\tan (1 , \text {arcsecond}) = \frac {1 , \text {AU}}{d}$$
  3. 对于小角度，$\tan (1 , \text {arcsecond}) \approx 1 , \text {arcsecond}$(以弧度表示)。
  4. $1 , \text{arcsecond} = \frac{1}{3600} , \text{degree} = \frac{1}{3600} \times \frac{\pi}{180} , \text{radians} \approx 4.8481368 \times 10^{-6} , \text{radians}$
  5. 因此： $$d = \frac {1 , \text {AU}}{4.8481368 \times 10^{-6}} \approx 3.086 \times 10^undefined , \text {m}$$
  6. $1 , \text{pc} \approx 3.086 \times 10^{16} , \text{m} \approx 3.26 , \text{l.y.}$
  7. 示意图：

1.4 单位之间的关系和转换#

• $1 , \text{AU} \approx 1.5813 \times 10^{-5} , \text{l.y.} \approx 4.8481 \times 10^{-6} , \text{pc}$
• $1 , \text{l.y.} \approx 63,240 , \text{AU} \approx 0.3066 , \text{pc}$
• $1 , \text{pc} \approx 206,265 , \text{AU} \approx 3.26 , \text{l.y.}$

2. 星等、亮度与光度#

2.1 星等 (Magnitude)#

• 定义：星等是衡量天体亮度的对数标度，最初由古希腊天文学家希帕克斯提出。星等越小，天体越亮；星等越大，天体越暗。
• 历史：希帕克斯将最亮的星星定为 1 等星，肉眼可见的最暗星定为 6 等星。现代星等系统包括负星等和大于 6 的星等。

2.2 视星等 (Apparent Magnitude, $m$)#

• 定义：视星等是从地球上观察到的天体亮度，不考虑天体与地球的距离。
• 特点：视星等受到天体光度、距离、星际尘埃消光等因素的影响。
• 例子：
  • 太阳的视星等约为 $-26.74$
  • 满月的视星等约为 $-12.6$
  • 织女星的视星等约为 $0.03$

2.3 绝对星等 (Absolute Magnitude, $M$)#

• 定义：绝对星等是将天体放置在距离地球 10 秒差距 (约 32.6 光年) 处时的视星等。
• 特点：绝对星等反映了天体本身的固有亮度，不受距离影响。

2.4 亮度 (Brightness) 或照度 (Illuminance)#

• 定义：亮度是从地球上单位面积接收到的天体辐射能量，单位为 $\text {W/m}^2$。
• 特点：亮度是线性标度，与视星等直接相关。

2.5 光度 (Luminosity, $L$)#

• 定义：光度是天体每秒辐射的总能量，单位为瓦特 ($\text {W}$)。
• 特点：光度是天体的固有属性，与距离无关。
• 与太阳光度的比较：天体光度常用太阳光度 ($L\_\odot$) 作为单位。例如，某恒星光度为 $10 , L\_\odot$，表示其光度为太阳的 10 倍。

2.6 距离模数 (Distance Modulus, $\mu$)#

• 定义：距离模数是视星等 ($m$) 和绝对星等 ($M$) 的差值，反映天体与地球的距离。
• 公式 ： $$\mu = m - M = 5 \log\_undefined \left ( \frac {d}undefined \right)$$ 其中 $d$ 是以秒差距 ($\text {pc}$) 为单位的距离。
• 推导：
  1. 亮度和距离平方成反比： $$\frac {b}{b\_undefined} = \left ( \frac undefined{d} \right)^2$$
  2. 星等和亮度的对数关系： $$m - M = -2.5 \log\_undefined \left ( \frac {b}{b\_undefined} \right)$$
  3. 联立得： $$\mu = 5 \log\_undefined \left ( \frac {d}undefined \right)$$

3. 星等与亮度的关系#

3.1 星等差公式#

设两个天体的视星等分别为 $m\_1$ 和 $m\_2$，亮度分别为 $b\_1$ 和 $b\_2$，则：

或：

3.2 绝对星等、视星等与距离模数的关系#

• 公式 ： $$M = m - 5 \log\_{10} d + 5$$
• 距离计算 ： $$d = 10^{\frac{m - M + 5}{5}} , \text{pc}$$

3.3 光度、亮度与距离的关系#

• 公式： $$b = \frac {L}{4 \pi d^2}$$ 其中：
  • $b$：亮度
  • $L$：光度
  • $d$：距离

3.4 光度与绝对星等的关系#

• 公式 ： $$M\_2 - M\_1 = -2.5 \log\_undefined \left ( \frac {L\_2}{L\_1} \right)$$ 或： $$\frac {L\_2}{L\_1} = 10^{-0.4 (M\_2 - M\_1)}$$
• 相对于太阳光度： $$\frac {L}{L\_\odot} = 10^{-0.4 (M - M\_\odot)}$$ 其中 $M\_\odot \approx 4.83$。

3.5 相关的其他概念#

1. 热改正 (Bolometric Correction, BC)#

• 定义: 热改正是一个用于将天体的视星等或绝对星等转换为其辐射总能量 (即热星等) 的修正值。热星等是衡量天体在所有波长上辐射的总能量的量度。
• 目的: 由于我们通常只能在特定波段 (例如可见光) 测量天体的星等，而不同天体在不同波段的辐射能量分布不同，因此需要进行热改正，以获得天体总辐射能量的准确度量。
• 计算: 热改正定义为天体的热星等 ($m\_{bol}$) 与其在特定波段 (例如可见光 V 波段) 的视星等 ($m\_V$) 之差： $BC = m\_{bol} - m\_V$ 或者，对于绝对星等： $BC = M\_{bol} - M\_V$
• 特点:
  • 热改正值通常为负值，因为天体的总辐射能量通常大于其在特定波段的辐射能量。
  • 热改正的大小取决于天体的表面温度和光谱类型。温度越高的天体，其辐射能量峰值越偏向短波，热改正的绝对值越大。
• 应用: 热改正可以用来计算天体的光度。一旦得到天体的热星等，就可以利用 Pogson 定律和太阳的热星等来计算其光度。

2. 斯蒂凡 - 玻尔兹曼公式 (Stefan-Boltzmann Law)#

关于为什么我这里写作斯蒂凡 - 玻尔兹曼，我的回答是别问，问就是输入法打出来的

• 定义: 斯蒂凡 - 玻尔兹曼公式描述了一个黑体单位表面积在单位时间内辐射的总能量 (即辐射通量或辐照度) 与其热力学温度的关系。
• 公式: $F = \sigma T^4$ 其中：
  • $F$ 是黑体表面的辐射通量，单位为 W/m²。
  • $\sigma$ 是斯蒂凡 - 玻尔兹曼常数，$\sigma \approx 5.670374419 \times 10^{-8} \text { W m}^{-2} \text { K}^{-4}$。
  • $T$ 是黑体的热力学温度，单位为开尔文 (K)。
• 应用:
  • 恒星光度: 假设恒星是球形黑体，其表面积为 $4 \pi R^2$，其中 $R$ 是恒星的半径。那么恒星的总光度 $L$ 可以表示为 (光度的另一种算法) ： $L = 4 \pi R^2 \sigma T^4$ 这个公式表明，恒星的光度与其半径的平方和表面温度的四次方成正比。
  • 行星温度: 可以利用斯蒂凡 - 玻尔兹曼公式估算行星的平衡温度。假设行星吸收来自恒星的能量并以黑体辐射的形式重新辐射能量，那么行星的温度可以通过平衡吸收的能量和辐射的能量来计算。
• 特点:
  • 斯蒂凡 - 玻尔兹曼公式适用于理想黑体，但许多天体 (如恒星) 可以近似为黑体。
  • 公式表明，温度的微小变化会导致辐射通量的显著变化，因为辐射通量与温度的四次方成正比。

3. 色指数 (Color Index)#

• 定义: 色指数是衡量天体在两个不同波段 (通常是蓝色 B 波段和可见光 V 波段) 的星等差异，用来表示天体的颜色和温度。
• 计算: 色指数通常表示为 B-V，即 B 波段星等减去 V 波段星等。
• 应用:
  • 温度估计: 色指数与恒星的表面温度密切相关。蓝色的高温恒星具有负的 B-V 值，而红色的低温恒星具有正的 B-V 值。
  • 星际红化: 星际尘埃会吸收和散射星光，导致星光变红，从而改变色指数。通过测量色指数的变化，可以研究星际尘埃的性质和分布。

4. 有效温度 (Effective Temperature)#

• 定义: 有效温度是指一个黑体在与天体 (例如恒星) 辐射相同总能量时所具有的温度。
• 应用: 有效温度是描述恒星表面温度的一个重要参数，可以用来估计恒星的光谱类型和演化阶段。

4. 天体运动#

4.1 视向速度 (Radial Velocity)#

• 定义：天体沿视线方向
• 的运动速度分量。
• 测量方法：通过多普勒效应测量谱线的红移或蓝移。
• 多普勒公式： $$\frac {\Delta \lambda}{\lambda} = \frac {v\_r}{c}$$ 其中：
  • $\Delta \lambda$：观测波长与静止波长之差
  • $\lambda$：静止波长
  • $v\_r$：视向速度
  • $c$：光速

4.2 自行 (Proper Motion)#

• 定义：天体在天球上垂直于视线方向的角位移速度。
• 单位：角秒 / 年 (arcsec/yr)
• 计算公式： $$\mu = \frac {v\_t}{d}$$ 其中：
  • $\mu$：自行
  • $v\_t$：切向速度
  • $d$：距离

4.3 周年视差 (Annual Parallax, π)#

• 定义：从地球轨道两端观测恒星时的视向差的一半
• 基本公式：$π = \frac undefined{r}$ (π 单位为角秒，r 为距离，单位为秒差距)
• 距离换算：
  • $r(pc) = \frac{1}{π"}$
  • $r(ly) = \frac{3.262}{π"}$
  • $1pc = 3.086 × 10^{13}km = 3.262ly$

4.4 三大宇宙速度#

1. 第一宇宙速度：

   • 定义：物体绕地球作圆周运动所需的最小速度
   • 公式：$v\_1 = \sqrt {\frac {GM\_E}{R\_E}} \approx 7.9 \text { km/s}$

2. 第二宇宙速度：

   • 定义：物体摆脱地球引力所需的最小速度
   • 公式：$v\_2 = \sqrt undefined,v\_1 \approx 11.2 \text { km/s}$

3. 第三宇宙速度：

   • 定义：物体摆脱太阳系引力所需的最小速度
   • 公式：$v\_3 \approx 16.7 \text {km/s}$ (在地球轨道处)

4.5 向心力与万有引力#

向心力#

• 公式： $$F\_c = \frac {mv^2}{r}$$ 其中：
  • $m$：物体质量
  • $v$：切向速度
  • $r$：轨道半径

万有引力#

• 牛顿万有引力定律： $$F\_G = G\frac {M\_1M\_2}{r^2}$$ 其中：
  • $G$：万有引力常数 ($6.67430 \times 10^{-11} \text { m}^3\text {kg}^{-1}\text {s}^{-2}$)
  • $M\_1, M\_2$：两个物体的质量
  • $r$：物体间距离

4.6 开普勒三定律#

1. 轨道定律：行星轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

2. 面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

   $$\frac {dA}{dt} = \text {常量} = \frac {L}{2m}$$

3. 周期定律：行星轨道长半轴的立方与公转周期的平方成正比。

   $$\frac {a^3}{T^2} = \frac {GM}{4\pi^2}$$

   其中：

   • $a$：轨道长半轴
   • $T$：公转周期
   • $M$：中心天体质量

4.7 红移#

1. 多普勒红移 (Doppler Redshift)#

• 产生原因：天体远离观测者运动时产生的光谱红移
• 特点：
  • 与天体的视向速度有关
  • 波长变化与速度成正比
• 公式： $$\frac {\Delta \lambda}{\lambda} = \frac {v\_r}{c}$$ 当速度较大时需要用相对论多普勒公式： $$\frac {\Delta \lambda}{\lambda} = \sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}} - 1$$

2. 引力 (重力) 红移 (Gravitational Redshift)#

• 产生原因：光子从强引力场逃逸时损失能量导致的红移
• 特点：
  • 与引力场强度有关
  • 在强引力场 (如黑洞附近) 效应明显
• 公式： $$\frac {\Delta \lambda}{\lambda} = \frac {GM}{rc^2}$$ 其中：
  • $G$：引力常数
  • $M$：引力源质量
  • $r$：距离引力源中心的距离

3. 宇宙学红移 (Cosmological Redshift)#

• 产生原因：宇宙膨胀导致的空间尺度增大
• 特点：
  • 与天体的距离成正比 (哈勃定律)
  • 不是由实际运动引起
• 公式： $$z = \frac {\Delta \lambda}{\lambda} = \frac {H\_0d}{c}$$ 其中：
  • $H\_0$：哈勃常数
  • $d$：距离
  • $c$：光速

4. 红移值 z 的计算#

• 定义公式 ： $z = \frac{\lambda\_{observed} - \lambda\_{emitted}}{\lambda\_{emitted}} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$
• 与速度的关系：
  • 非相对论情况：$z \approx \frac {v}{c}$ (v << c)
  • 相对论情况：$z = \sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}} - 1$
• 与宇宙尺度因子的关系： $1 + z = \frac {a (t\_0)}{a (t\_e)}$ 其中 $a (t)$ 为宇宙尺度因子

5. 望远镜参数#

1. 口径 (D)#

• 物镜或主镜的有效直径
• 基本单位换算：$1 inch = 25.4mm$
• 决定望远镜的基础性能参数

2. 焦距 (F)#

• 主焦距：物镜 / 主镜本身的焦距
• 等效焦距：$F\_{eq} = F \times Barlow$
  • Barlow 为倍率 (如 2×, 3× 等)

3. 焦比 (f)#

• 基本公式：$f\_{ratio} = \frac {F}{D}$
• 典型值分类：
  • $f/4 - f/6$：深空摄影
  • $f/8 - f/10$：通用型
  • $f/12$ 以上：行星观测

4. 分辨角 (θ)#

• 瑞利判据：
  • $θ = \frac {1.22λ}{D}$ (弧度)
  • $θ = \frac {251600λ}{D}$ (角秒)
  • λ 为波长 (通常 550nm)
  • D 为口径 (mm)

5. 视场 (ω)#

1. 理论视场计算公式：

   • $\tan(\frac{ω}{2}) = \frac{D}{F}$
   • ω 为视场角 (度)
   • D 为口径 (mm)
   • F 为焦距 (mm)

2. 实际考虑：

   • 施密特望远镜：视场 ω 可达十几度
   • 一般反射望远镜：视场 ω 小于 1°
   • 实际视场常小于理论值，因为：
     • 光学系统像差
     • 视场边缘像质下降
     • 成像良好区域限制

3. CCD / 全画幅相机使用时：

   • 实际视场 = $2 × \arctan (\frac {sensor\_size}{2F})$
   • $sensor\_size$ 为传感器对角线长度
   • 常用传感器尺寸：
     • 全画幅：对角线 43.3mm
     • APS-C：对角线约 28.4mm

6. 放大率 (M)#

• 基本公式：$M = \frac {F}{f}$
• 有效范围：
  • 最大：$M\_{max} ≈ 2D$ (D 单位 mm)
  • 最小：$M\_{min} ≈ \frac {D}undefined$
  • 实用：$M\_{practical} ≈ D$ 到 $1.5D$

7. 底片比例尺 (S)#

• 基本公式：$S = \frac {206265"}{F}$ (角秒 /mm)
• CCD 像元分辨率：
  • $R = \frac {pixel\_size × 206.265}{F}$ (角秒 / 像素)
  • $pixel\_size$ 为像元尺寸 (μm)

8. 贯穿本领 (m)#

• 目视：$m = 2.5\log D + 2.1$
• 摄影：$m = 2.5\log D + 4.8$
• D 为口径 (mm)

9. CCD / 全画幅相关补充#

常用传感器尺寸#

• 全画幅：36×24mm
• APS-C：约 23.6×15.7mm (具体因厂商略有不同)
• 4/3：17.3×13mm

CCD 观测计算#

1. 实际视场计算：

   • $FOV = 2 × \arctan(\frac{sensor\_size}{2F})$
   • 或简化公式：$FOV = \frac {sensor\_size × 206.265}{F}$

2. 像素分辨率：

   • $R\_{arcsec/pixel} = \frac{pixel\_size(μm) × 206.265}{F(mm)}$

3. 采样率判断：

   • 最佳采样：2-3 像素对应望远镜分辨角
   • $optimal\_sampling = \frac{251600λ}{2D} ≈ \frac{pixel\_size × 206.265}{F}$

4. 曝光时间估算：

   • $t = \frac{K}{(F/D)^2}$
   • K 为目标物体相关常数

10. 望远镜的信噪比 (SNR)#

• 基本公式 ： $SNR = \frac{N\_{signal}}{\sqrt{N\_{signal} + N\_{sky} + N\_{dark} + N\_{read}^2}}$

• 各项说明：

  • $N\_{signal}$：目标信号光子数
  • $N\_{sky}$：天空背景光子数
  • $N\_{dark}$：暗电流噪声
  • $N\_{read}$：读出噪声

• 曝光时间估算： $t = \frac {SNR^2 (N\_{sky} + N\_{dark} + N\_{read}^2)}{(S/s)^2}$ 其中 S 为信号强度，s 为每秒信号计数

11. 大气视宁度 (Seeing)#

• 定义：大气扰动对天文观测的影响程度
• 测量单位：角秒 (arcsec)
• 典型值：
  • 极好：< 0.5”
  • 良好：0.5”- 1.0”
  • 一般：1.0”- 2.0”
  • 较差：> 2.0”

6. 那些” 极限 “#

1. 洛希极限 (Roche Limit)#

• 定义：一颗卫星在不被潮汐力撕碎的情况下，能够接近其主星的最小距离
• 基本公式：$d = R (\frac {2\rho\_M}{\rho\_m})^{\frac undefinedundefined}$
• 应用：解释行星环的形成、预测卫星解体距离、研究双星系统稳定性
• 实例：土星环就位于土星的洛希极限内，这解释了为什么这些物质无法聚合成卫星

2. 史瓦西极限 (Schwarzschild Radius)#

• 定义：物体被压缩到这个半径时会形成黑洞，即光都无法逃脱的临界半径
• 基本公式：$R\_s = \frac {2GM}{c^2}$
• 应用：黑洞研究、引力塌缩理论、广义相对论验证
• 实例：太阳如果被压缩到约 3 公里半径就会成为黑洞

3. 钱德拉塞卡极限 (Chandrasekhar Limit)#

• 定义：白矮星能够达到的最大质量限制，约为 1.44 个太阳质量
• 物理意义：电子简并压力能够支撑的最大恒星质量
• 应用：超新星爆发机制研究、白矮星演化研究
• 实例：Ia 型超新星爆发通常发生在接近这个质量限制时

4. 爱丁顿极限 (Eddington Limit)#

• 定义：恒星通过辐射压力能够维持的最大光度
• 基本公式：$L\_{Edd} = \frac {4\pi GMc}{\kappa}$
• 应用：超大质量恒星研究、吸积天体研究
• 实例：很多超巨星的光度接近但不超过爱丁顿极限

5. 托尔曼 - 奥本海默 - 沃尔科夫极限 (TOV Limit)#

• 定义：中子星可能达到的最大质量
• 物理意义：中子简并压力能够支撑的最大质量
• 应用：中子星研究、双中子星并合研究
• 实例：目前观测到的最大中子星质量约 2.5 太阳质量

6. 海恩斯界线 (Hayashi Track)#

• 定义：完全对流恒星在 H-R 图上可能存在的最低温度边界
• 物理意义：标志着恒星结构从辐射平衡向对流平衡的转变
• 应用：恒星形成和早期演化研究
• 实例：红巨星和年轻恒星的演化轨迹

7. 维里极限 (Virial Limit)#

• 定义：描述系统中动能与势能之间的平衡关系
• 基本关系：$2K + U = 0$
• 应用：星系团动力学、恒星结构
• 实例：用于估算星系团的总质量

X. 一些其他概念#

标准烛光#

• 定义：已知绝对星等的天体，用于测量宇宙距离
• 主要类型：
  • 造父变星
  • Ia 型超新星 (绝对星等约 - 19.3 等)
  • RR 天琴型变星
• 距离计算：
  • 距离模数：$m - M = 5\log r - 5$
  • r 为秒差距距离

造父变星#

• 特征：周期 - 光度关系
• 周期 - 光度公式：
  • $M\_v = -2.81\log P - 1.43$
  • P 为周期 (天)
  • M_v 为绝对星等
• 应用：测量河外星系距离

引力透镜#

• 基本原理：广义相对论预言的光线弯曲
• 引力偏转角：$α = \frac {4GM}{c^2b}$
  • G 为引力常数
  • M 为透镜质量
  • b 为撞击参数
• 爱因斯坦环半径：$θ\_E = \sqrt {\frac {4GM}{c^2}\frac {D\_{LS}}{D\_L D\_S}}$
  • D_LS：透镜到源的距离
  • D_L：观测者到透镜的距离
  • D_S：观测者到源的距离

RR 天琴变星#

• 特征：周期短 (0.2-1 天)
• 绝对星等：约 0.6 等
• 用途：测量球状星团距离

宇宙距离阶梯#

从近到远的测量方法： 1) 视差法 (<100pc) 2) 运动视差 3) 统计视差 4) 主序拟合 5) 造父变星 6) RR 天琴变星 7) Ia 型超新星

哈勃定律#

• 公式：$v = H\_0d$
  • $v$ 为星系退行速度
  • $d$ 为距离
  • $H\_0$ 为哈勃常数
• 现代测量值：
  • $H\_0 ≈ 67.4 ± 0.5 km/s/Mpc$(Planck)
  • $H\_0 ≈ 74.03 ± 1.42 km/s/Mpc$(SH0ES)

天文测光系统#

1. Johnson-Cousins UBVRI 系统#

• U 波段：中心波长 365nm
• B 波段：中心波长 445nm
• V 波段：中心波长 551nm
• R 波段：中心波长 658nm
• I 波段：中心波长 806nm

2. Sloan 数字巡天 (SDSS) 系统#

• u 波段：中心波长 354nm
• g 波段：中心波长 477nm
• r 波段：中心波长 623nm
• i 波段：中心波长 763nm
• z 波段：中心波长 913nm

附: 第二、第三宇宙速度的推导#

第二宇宙速度#

物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度。

首先介绍引力势能公式：两物体之间的引力势能大小为：

注意，引力势能为负值，物体间距越大，引力势能越大；当距离达到无穷时，引力势能最大，为 0 焦耳。

因此，当物体挣脱地球引力飞向地球无穷远处时，物体动能和势能都为 0 焦耳，根据机械能守恒，此时物体的总能量 (动能 + 引力势能) 之和也应该为 0 焦耳，即：

即：

化解得：

第三宇宙速度#

物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外空间的最小发射速度。

首先，我们发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此，先求解地球绕太阳的公转速度，即：

解得：

然后，我们不考虑地球的影响 (或假设地球不存在)，以太阳为参考系，那么在地球附近的物体具有的动能与势能之和为：

若该物体能挣脱太阳引力，则应该满足：

即：

解得：

注意：其实在推导第一宇宙速度 (环绕速度) 和第二宇宙速度 (逃逸速度) 的时候，我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号 2 倍了。因此上述 $v\_0$ 相当于地球逃逸太阳的速度。

前面已经说过，发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此得到：

也可以理解为是相对地球的速度，即以地球为参考系的速度。

假设地球不存在的情况下，现在把地球还原，则发射速度还要克服地球引力作用，即：

联立：

可得：

注意：上述可以直接理解为：发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。

简单来说，发射动能相当于地球从太阳系逃逸后，物体再从地球上逃逸。当然这个说法不完全正确，因为涉及到一个相对速度和参考系的变化！

最终解得：