1.1 天文单位 (Astronomical Unit, AU)#

• 定义：地球到太阳的平均距离。
• 数值：\(1 \, \text{AU} \approx 1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)

1.2 光年 (Light Year, l.y.)#

• 定义：光在真空中一年传播的距离。
• 推导：
  • 光速 \(c \approx 299,792,458 \, \text{m/s}\)
  • 一年 \(= 365.25 \, \text{days} = 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \, \text{s} \approx 3.15576 \times 10^7 \, \text{s}\)
  • \(1 \, \text{l.y.} = c \times 1 \, \text{year} \approx (299,792,458 \, \text{m/s}) \times (3.15576 \times 10^7 \, \text{s}) \approx 9.461 \times 10^{15} \, \text{m}\)

1.3 秒差距 (Parsec, pc)#

• 定义：当一个天文单位（AU）的长度对应于一角秒（\(1/3600\) 度）的角度时，距离观察者的距离。
• 推导：
  1. 考虑一个直角三角形，其中一条直角边为 \(1 \, \text{AU}\)，另一条直角边为距离 \(d\) (\(1 \, \text{pc}\))，对角为 \(1 \, \text{arcsecond}\)。
  2. 使用三角函数：
     \[\tan(1 \, \text{arcsecond}) = \frac{1 \, \text{AU}}{d}\]
  3. 对于小角度，\(\tan(1 \, \text{arcsecond}) \approx 1 \, \text{arcsecond}\)（以弧度表示）。
  4. \(1 \, \text{arcsecond} = \frac{1}{3600} \, \text{degree} = \frac{1}{3600} \times \frac{\pi}{180} \, \text{radians} \approx 4.8481368 \times 10^{-6} \, \text{radians}\)
  5. 因此：
     \[d = \frac{1 \, \text{AU}}{4.8481368 \times 10^{-6}} \approx 3.086 \times 10^{16} \, \text{m}\]
  6. \(1 \, \text{pc} \approx 3.086 \times 10^{16} \, \text{m} \approx 3.26 \, \text{l.y.}\)
  7. 示意图：

1.4 单位之间的关系和转换#

• \(1 \, \text{AU} \approx 1.5813 \times 10^{-5} \, \text{l.y.} \approx 4.8481 \times 10^{-6} \, \text{pc}\)
• \(1 \, \text{l.y.} \approx 63,240 \, \text{AU} \approx 0.3066 \, \text{pc}\)
• \(1 \, \text{pc} \approx 206,265 \, \text{AU} \approx 3.26 \, \text{l.y.}\)

2.1 星等 (Magnitude)#

• 定义：星等是衡量天体亮度的对数标度，最初由古希腊天文学家希帕克斯提出。星等越小，天体越亮；星等越大，天体越暗。
• 历史：希帕克斯将最亮的星星定为 1 等星，肉眼可见的最暗星定为 6 等星。现代星等系统包括负星等和大于 6 的星等。

2.2 视星等 (Apparent Magnitude, \(m\))#

• 定义：视星等是从地球上观察到的天体亮度，不考虑天体与地球的距离。
• 特点：视星等受到天体光度、距离、星际尘埃消光等因素的影响。
• 例子：
  • 太阳的视星等约为 \(-26.74\)
  • 满月的视星等约为 \(-12.6\)
  • 织女星的视星等约为 \(0.03\)

2.3 绝对星等 (Absolute Magnitude, \(M\))#

• 定义：绝对星等是将天体放置在距离地球 10 秒差距（约 32.6 光年）处时的视星等。
• 特点：绝对星等反映了天体本身的固有亮度，不受距离影响。

2.4 亮度 (Brightness) 或照度 (Illuminance)#

• 定义：亮度是从地球上单位面积接收到的天体辐射能量，单位为 \(\text{W/m}^2\)。
• 特点：亮度是线性标度，与视星等直接相关。

2.5 光度 (Luminosity, \(L\))#

• 定义：光度是天体每秒辐射的总能量，单位为瓦特 (\(\text{W}\))。
• 特点：光度是天体的固有属性，与距离无关。
• 与太阳光度的比较：天体光度常用太阳光度 (\(L_\odot\)) 作为单位。例如，某恒星光度为 \(10 \, L_\odot\)，表示其光度为太阳的 10 倍。

2.6 距离模数 (Distance Modulus, \(\mu\))#

• 定义：距离模数是视星等 (\(m\)) 和绝对星等 (\(M\)) 的差值，反映天体与地球的距离。
• 公式：
  \[\mu = m - M = 5 \log_{10} \left( \frac{d}{10} \right)\]
  其中 \(d\) 是以秒差距 (\(\text{pc}\)) 为单位的距离。
• 推导：
  1. 亮度和距离平方成反比：
     \[\frac{b}{b_{10}} = \left( \frac{10}{d} \right)^2\]
  2. 星等和亮度的对数关系：
     \[m - M = -2.5 \log_{10} \left( \frac{b}{b_{10}} \right)\]
  3. 联立得：
     \[\mu = 5 \log_{10} \left( \frac{d}{10} \right)\]

3.1 星等差公式#

设两个天体的视星等分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\)，亮度分别为 \(b_1\) 和 \(b_2\)，则：

或：

3.2 绝对星等、视星等与距离模数的关系#

• 公式：
  \[M = m - 5 \log_{10} d + 5\]
• 距离计算：
  \[d = 10^{\frac{m - M + 5}{5}} \, \text{pc}\]

3.3 光度、亮度与距离的关系#

• 公式：
  \[b = \frac{L}{4 \pi d^2}\]
  其中：
  • \(b\)：亮度
  • \(L\)：光度
  • \(d\)：距离

3.4 光度与绝对星等的关系#

• 公式：
  \[M_2 - M_1 = -2.5 \log_{10} \left( \frac{L_2}{L_1} \right)\]
  或：
  \[\frac{L_2}{L_1} = 10^{-0.4(M_2 - M_1)}\]
• 相对于太阳光度：
  \[\frac{L}{L_\odot} = 10^{-0.4(M - M_\odot)}\]
  其中 \(M_\odot \approx 4.83\)。

3.5 相关的其他概念#

4.1 视向速度 (Radial Velocity)#

• 定义：天体沿视线方向
• 的运动速度分量。
• 测量方法：通过多普勒效应测量谱线的红移或蓝移。
• 多普勒公式：
  \[\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v_r}{c}\]
  其中：
  • \(\Delta \lambda\)：观测波长与静止波长之差
  • \(\lambda\)：静止波长
  • \(v_r\)：视向速度
  • \(c\)：光速

4.2 自行 (Proper Motion)#

• 定义：天体在天球上垂直于视线方向的角位移速度。
• 单位：角秒/年 (arcsec/yr)
• 计算公式：
  \[\mu = \frac{v_t}{d}\]
  其中：
  • \(\mu\)：自行
  • \(v_t\)：切向速度
  • \(d\)：距离

4.3 周年视差(Annual Parallax, π)#

• 定义：从地球轨道两端观测恒星时的视向差的一半
• 基本公式：\(π = \frac{1}{r}\) (π单位为角秒，r为距离，单位为秒差距)
• 距离换算：
  • \(r(pc) = \frac{1}{π"}\)
  • \(r(ly) = \frac{3.262}{π"}\)
  • \(1pc = 3.086 × 10^{13}km = 3.262ly\)

4.4 三大宇宙速度#

1. 第一宇宙速度：

   • 定义：物体绕地球作圆周运动所需的最小速度
   • 公式：\(v_1 = \sqrt{\frac{GM_E}{R_E}} \approx 7.9 \text{ km/s}\)

2. 第二宇宙速度：

   • 定义：物体摆脱地球引力所需的最小速度
   • 公式：\(v_2 = \sqrt{2}\,v_1 \approx 11.2 \text{ km/s}\)

3. 第三宇宙速度：

   • 定义：物体摆脱太阳系引力所需的最小速度
   • 公式：\(v_3 \approx 16.7 \text{ km/s}\) (在地球轨道处)

4.5 向心力与万有引力#

4.6 开普勒三定律#

1. 轨道定律：行星轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

2. 面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

   \[\frac{dA}{dt} = \text{常量} = \frac{L}{2m}\]

3. 周期定律：行星轨道长半轴的立方与公转周期的平方成正比。

   \[\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}\]

   其中：

   • \(a\)：轨道长半轴
   • \(T\)：公转周期
   • \(M\)：中心天体质量

4.7 红移#

1. 口径(D)#

• 物镜或主镜的有效直径
• 基本单位换算：\(1 inch = 25.4mm\)
• 决定望远镜的基础性能参数

2. 焦距(F)#

• 主焦距：物镜/主镜本身的焦距
• 等效焦距：\(F_{eq} = F \times Barlow\)
  • Barlow为倍率(如2×, 3×等)

3. 焦比(f)#

• 基本公式：\(f_{ratio} = \frac{F}{D}\)
• 典型值分类：
  • \(f/4 - f/6\)：深空摄影
  • \(f/8 - f/10\)：通用型
  • \(f/12\)以上：行星观测

4. 分辨角(θ)#

• 瑞利判据：
  • \(θ = \frac{1.22λ}{D}\) (弧度)
  • \(θ = \frac{251600λ}{D}\) (角秒)
  • λ为波长(通常550nm)
  • D为口径(mm)

5. 视场(ω)#

1. 理论视场计算公式：

   • \(\tan(\frac{ω}{2}) = \frac{D}{F}\)
   • ω为视场角(度)
   • D为口径(mm)
   • F为焦距(mm)

2. 实际考虑：

   • 施密特望远镜：视场ω可达十几度
   • 一般反射望远镜：视场ω小于1°
   • 实际视场常小于理论值，因为：
     • 光学系统像差
     • 视场边缘像质下降
     • 成像良好区域限制

3. CCD/全画幅相机使用时：

   • 实际视场 = \(2 × \arctan(\frac{sensor\_size}{2F})\)
   • \(sensor\_size\) 为传感器对角线长度
   • 常用传感器尺寸：
     • 全画幅：对角线43.3mm
     • APS-C：对角线约28.4mm

6. 放大率(M)#

• 基本公式：\(M = \frac{F}{f}\)
• 有效范围：
  • 最大：\(M_{max} ≈ 2D\) (D单位mm)
  • 最小：\(M_{min} ≈ \frac{D}{7}\)
  • 实用：\(M_{practical} ≈ D\) 到 \(1.5D\)

7. 底片比例尺(S)#

• 基本公式：\(S = \frac{206265"}{F}\) (角秒/mm)
• CCD像元分辨率：
  • \(R = \frac{pixel\_size × 206.265}{F}\) (角秒/像素)
  • \(pixel\_size\) 为像元尺寸(μm)

8. 贯穿本领(m)#

• 目视：\(m = 2.5\log D + 2.1\)
• 摄影：\(m = 2.5\log D + 4.8\)
• D为口径(mm)

9. CCD/全画幅相关补充#

10. 望远镜的信噪比(SNR)#

• 基本公式： \(SNR = \frac{N_{signal}}{\sqrt{N_{signal} + N_{sky} + N_{dark} + N_{read}^2}}\)

• 各项说明：

  • \(N_{signal}\)：目标信号光子数
  • \(N_{sky}\)：天空背景光子数
  • \(N_{dark}\)：暗电流噪声
  • \(N_{read}\)：读出噪声

• 曝光时间估算： \(t = \frac{SNR^2(N_{sky} + N_{dark} + N_{read}^2)}{(S/s)^2}\) 其中S为信号强度，s为每秒信号计数

11. 大气视宁度(Seeing)#

• 定义：大气扰动对天文观测的影响程度
• 测量单位：角秒(arcsec)
• 典型值：
  • 极好：< 0.5”
  • 良好：0.5” - 1.0”
  • 一般：1.0” - 2.0”
  • 较差：> 2.0”

1. 洛希极限 (Roche Limit)#

• 定义：一颗卫星在不被潮汐力撕碎的情况下，能够接近其主星的最小距离
• 基本公式：\(d = R(\frac{2\rho_M}{\rho_m})^{\frac{1}{3}}\)
• 应用：解释行星环的形成、预测卫星解体距离、研究双星系统稳定性
• 实例：土星环就位于土星的洛希极限内，这解释了为什么这些物质无法聚合成卫星

2. 史瓦西极限 (Schwarzschild Radius)#

• 定义：物体被压缩到这个半径时会形成黑洞，即光都无法逃脱的临界半径
• 基本公式：\(R_s = \frac{2GM}{c^2}\)
• 应用：黑洞研究、引力塌缩理论、广义相对论验证
• 实例：太阳如果被压缩到约3公里半径就会成为黑洞

3. 钱德拉塞卡极限 (Chandrasekhar Limit)#

• 定义：白矮星能够达到的最大质量限制，约为1.44个太阳质量
• 物理意义：电子简并压力能够支撑的最大恒星质量
• 应用：超新星爆发机制研究、白矮星演化研究
• 实例：Ia型超新星爆发通常发生在接近这个质量限制时

4. 爱丁顿极限 (Eddington Limit)#

• 定义：恒星通过辐射压力能够维持的最大光度
• 基本公式：\(L_{Edd} = \frac{4\pi GMc}{\kappa}\)
• 应用：超大质量恒星研究、吸积天体研究
• 实例：很多超巨星的光度接近但不超过爱丁顿极限

5. 托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限 (TOV Limit)#

• 定义：中子星可能达到的最大质量
• 物理意义：中子简并压力能够支撑的最大质量
• 应用：中子星研究、双中子星并合研究
• 实例：目前观测到的最大中子星质量约2.5太阳质量

6. 海恩斯界线 (Hayashi Track)#

• 定义：完全对流恒星在H-R图上可能存在的最低温度边界
• 物理意义：标志着恒星结构从辐射平衡向对流平衡的转变
• 应用：恒星形成和早期演化研究
• 实例：红巨星和年轻恒星的演化轨迹

7. 维里极限 (Virial Limit)#

• 定义：描述系统中动能与势能之间的平衡关系
• 基本关系：\(2K + U = 0\)
• 应用：星系团动力学、恒星结构
• 实例：用于估算星系团的总质量

标准烛光#

• 定义：已知绝对星等的天体，用于测量宇宙距离
• 主要类型：
  • 造父变星
  • Ia型超新星（绝对星等约-19.3等）
  • RR天琴型变星
• 距离计算：
  • 距离模数：\(m - M = 5\log r - 5\)
  • r为秒差距距离

造父变星#

• 特征：周期-光度关系
• 周期-光度公式：
  • \(M_v = -2.81\log P - 1.43\)
  • P为周期（天）
  • M_v为绝对星等
• 应用：测量河外星系距离

引力透镜#

• 基本原理：广义相对论预言的光线弯曲
• 引力偏转角：\(α = \frac{4GM}{c^2b}\)
  • G为引力常数
  • M为透镜质量
  • b为撞击参数
• 爱因斯坦环半径：\(θ_E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{LS}}{D_L D_S}}\)
  • D_LS：透镜到源的距离
  • D_L：观测者到透镜的距离
  • D_S：观测者到源的距离

RR天琴变星#

• 特征：周期短（0.2-1天）
• 绝对星等：约0.6等
• 用途：测量球状星团距离

宇宙距离阶梯#

从近到远的测量方法： 1) 视差法（<100pc） 2) 运动视差 3) 统计视差 4) 主序拟合 5) 造父变星 6) RR天琴变星 7) Ia型超新星

哈勃定律#

• 公式：\(v = H_0d\)
  • \(v\) 为星系退行速度
  • \(d\) 为距离
  • \(H_0\) 为哈勃常数
• 现代测量值：
  • \(H_0 ≈ 67.4 ± 0.5 km/s/Mpc\)（Planck）
  • \(H_0 ≈ 74.03 ± 1.42 km/s/Mpc\)（SH0ES）

天文测光系统#

第二宇宙速度#

物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度。

首先介绍引力势能公式：两物体之间的引力势能大小为：

注意，引力势能为负值，物体间距越大，引力势能越大；当距离达到无穷时，引力势能最大，为0焦耳。

因此，当物体挣脱地球引力飞向地球无穷远处时，物体动能和势能都为0焦耳，根据机械能守恒，此时物体的总能量（动能 + 引力势能）之和也应该为0焦耳，即：

即：

化解得：

第三宇宙速度#

物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外空间的最小发射速度。

首先，我们发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此，先求解地球绕太阳的公转速度，即：

解得：

然后，我们不考虑地球的影响（或假设地球不存在），以太阳为参考系，那么在地球附近的物体具有的动能与势能之和为：

若该物体能挣脱太阳引力，则应该满足：

即：

解得：

注意：其实在推导第一宇宙速度（环绕速度）和第二宇宙速度（逃逸速度）的时候，我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号2倍了。因此上述 \(v_0\) 相当于地球逃逸太阳的速度。

前面已经说过，发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此得到：

也可以理解为是相对地球的速度，即以地球为参考系的速度。

假设地球不存在的情况下，现在把地球还原，则发射速度还要克服地球引力作用，即：

联立：

可得：

注意：上述可以直接理解为：发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。

简单来说，发射动能相当于地球从太阳系逃逸后，物体再从地球上逃逸。当然这个说法不完全正确，因为涉及到一个相对速度和参考系的变化！

最终解得：